开普勒第一定律


分享:

评分:0   
分类: 天体运动  
延伸: 开普勒第二定律 开普勒第三定律 万有引力定律 天体运动 人造地球卫星  

开普勒(Kepler)三定律

  • 第一定律:所有的行星各在以太阳为焦点的椭圆形轨道上运行。
  • 第二定律:太阳与行星的连线在相同的时间间隔内扫过的面积相等。
  • 第三定律:行星公转周期的平方与行星到太阳平均距离的三次方成正比。


开普勒第一定律
所有的行星各在以太阳为焦点的椭圆形轨道上运行。


地球运行的特点

  • 由于地球始终绕太阳运动,则太阳对地球的万有引力的力矩始终为零,故地球在运动过程中角动量守恒。
  • 若把太阳与地球视为一个系统,由于万有引力为保守力且无外力作用,故系统机械能守恒。


地球运行轨迹分析

  • 地地球在有心力场中作平面运动且万有引力的作用线始终通过太阳,建立如图所示的极坐标系,则P点坐标为(r,θ)。



  • 若太阳质量为M,地球质量为m,极径为r,地球运行的运行速度为v。
  • 当地球的运行速度与极径r垂直时,则地球运行过程中的角动量(1)



    若取无穷远处为引力势能的零参考点,则引力势能,地球在运行过程中机械能为(2)



    (1)式代入(2)式得:(3),



    由式(3)得(4)



    由式(4)可知,地球的运行速度与极径r垂直时,地球运行的极径r有两解,由于初始假设地球的运行速度与极径垂直,所以r为地球处在近日点和远日点距太阳的距离。考虑到地球的这两个位置在极坐标系中分别相当于,可把式(4)中的号改写为更普遍的形式极坐标方程。
    则地球的运行轨迹方程为(5)



    (5)式与圆锥曲线的极坐标方程吻合
    故地球的运行轨迹为圆锥曲线。由于地球绕太阳运动时E<0,则圆锥曲线的偏心率,所以地球绕太阳运行的轨迹为椭圆。